Acerca del concepto de estabilidad en las omnipresentes matemáticas

En el artículo De la realidad a las matemáticas: ¿qué es el modelado matemático? se ha explicado que los fenómenos que ocurren en la realidad pueden ser descritos por términos matemáticos.  Se ha mencionado también que los modelos matemáticos son empleados por la ciencia e ingeniería para el estudio de fenómenos que ocurren en el mundo físico desde un mundo conceptual.

El interés por las propiedades del fenómeno que se estudia desde ese mundo conceptual se encuentra en función de la clase de fenómeno modelado. Por ejemplo, no se tendrá el mismo interés en las propiedades del modelo de un fenómeno social que en las del modelo de un mecanismo. Una de las propiedades de interés en algunos fenómenos físicos es su estabilidad. En efecto, como la realidad puede ser aproximada por ecuaciones diferenciales, la necesidad del estudio de la estabilidad de algunos fenómenos físicos se traduce en la necesidad del estudio de la estabilidad de ecuaciones diferenciales. Pero antes de darnos a la tarea de saber a qué nos referimos con estabilidad, démonos una idea a grosso modo de qué hablamos cuando se trata de una ecuación diferencial.

¿Qué es una ecuación diferencial?

El primer contacto con las ecuaciones (así, ecuaciones simplemente) se tuvo, aunque sea difícil de creer para algunos “matematofóbicos”, en los primeros pasos en el mundo de las matemáticas cuando las sumas y las restas dijeron: presente, en nuestras mentes. Conforme el camino en este mundo de abstracción se iba abriendo; comenzaron a salir a la luz las probablemente bien recordadas ecuaciones algebraicas, en donde ahora, en lugar de números en los sumandos, los términos contemplados eran letras (o variables desconocidas, ¿lo recuerdas?), en donde el desafío era encontrar valores numéricos para esas variables tales que cumplieran con las igualdades establecidas. En efecto, la palabra ecuación tiene su origen del latín “aequatĭo” y “aequatiōnis” que significa “hacer igual”. Es así que cuando se habla de ecuaciones se habla de igualdades que establecen una relación entre términos matemáticos. En la suma, estos términos corresponden a los sumandos y al total de la suma, mientras que en las ecuaciones algebraicas a las variables desconocidas.

En una ecuación diferencial, la única diferencia (al menos por simple inspección) con respecto a ecuaciones algebraicas, es que los términos que se encuentran relacionados por la igualdad corresponden a una determinada función con sus derivadas. Por ejemplo, dx(t)/dt=ax(t), es una ecuación diferencial en la que se relaciona la función x(t) (en este caso, esta función representa cierta relación de algunos elementos con el tiempo t) con su primera derivada; pero, ¿cuál es esta función x(t)? Encontrar la respuesta a esta pregunta es ni más ni menos que encontrar una solución a la ecuación diferencial. Como todo objeto, sea físico, sea abstracto, las ecuaciones diferenciales poseen ciertas propiedades. Una de las más importantes que ha resultado ser de vital importancia para las ciencias aplicadas es, como ya se mencionó en  la introducción, la estabilidad. Y, ¿a qué nos referimos  con estabilidad?

El concepto de estabilidad

Es fácil encontrarse con la palabra estabilidad en el lenguaje común: estabilidad económica, estabilidad emocional, etc., y el entendimiento de su significado no es complicado. La palabra estable es un adjetivo que asigna la propiedad de permanecer en un lugar o estado determinado durante mucho tiempo a un objeto, ya sea físico o abstracto.  Es decir, cuando se habla de estabilidad económica comúnmente se refiere a que nuestro bolsillo no se verá afectado pese a una serie de cambios, los cuales podrían ser con respecto a las entradas o salidas de dinero que se considerarían normales bajo ciertas situaciones, que pudiesen presentarse.

Esta misma noción de estabilidad fue introducida en el área científica, al parecer por primera vez (ver capítulo 1 de [1]), por  Arquímedes y Aristóteles, este último investigaba el movimiento causado por una perturbación, y determinaba entonces, a partir del comportamiento de este movimiento, la estabilidad del estado sin perturbación. Por otra parte,  Arquímedes empleó la modificación geométrica ante la perturbación de un sistema para determinar la estabilidad del sistema no perturbado. De estos dos puntos de vista nacieron dos distintos métodos para el estudio de la estabilidad, a saber, el método cinemático y el método geométrico. Como no es intención del autor abrumar al lector, los detalles de cada uno de los métodos se reservan para la investigación del lector.

Si bien, los dos puntos de vista mencionados en el párrafo anterior tienen sus diferencias en cuanto a la forma de estudiar la estabilidad de un fenómeno se refiere, la parte conceptual en la que coinciden deja claro que la idea básica detrás del estudio de estabilidad  es el comportamiento que tiene un sistema ante determinadas perturbaciones.

De hecho, aunque desde un punto de vista matemático existen diversas definiciones de estabilidad (estabilidad, estabilidad asintótica, estabilidad exponencial, etc.), el concepto esencial es el mismo: se considera la aplicación de una perturbación acotada (es decir, delimitada en el sentido coloquial) al estado bajo estudio de un determinado fenómeno. Si esta perturbación acotada tiene como consecuencia un cambio acotado en el estado bajo estudio se dice entonces que el estado es estable [1].

A manera de ofrecer un mejor entendimiento de este concepto, volvamos al ejemplo de estabilidad económica, aunque bajo la supervisión estricta de economía no sea del todo válida la analogía. Si considerásemos a la perturbación como la devaluación del peso y el estado bajo estudio el dinero  necesario para cubrir nuestras necesidades básicas, podríamos decir que nuestra economía es estable si pese a la devaluación (la cual,  es acotada) la salida de dinero es tal que nuestro bolsillo no se queda vacío, o peor aún, en números rojos (una salida de dinero acotada).

Estabilidad de una ecuación diferencial

Se ha mencionado previamente que las ecuaciones diferenciales tienen una solución (en lo previamente expuesto, la función x(t)). Hablar de estabilidad de ecuaciones diferenciales es referirse a una propiedad cualitativa de esta solución. ¿Cómo definimos entonces esta propiedad? La respuesta a esta pregunta se encuentra de manera sencilla trasladando el concepto de estabilidad introducido hace apenas una sección,  a la solución de la ecuación diferencial: se dice que una ecuación diferencial es estable si ante una perturbación acotada de su condición inicial (la condición con la que se inicia la solución),  la solución  obtenida también es acotada.

Como ya se ha dicho, este concepto de estabilidad en una ecuación diferencial, que pese a los esfuerzos hechos a lo largo de este artículo, el autor reconoce que aún permanece un tanto abstracto, es de gran importancia para las ciencias aplicadas. Pero, ¿cómo? Contestemos con un poco de historia. El avance más significante en el desarrollo de la teoría de control en el siglo XVIII (vea el artículo Acercamiento a la teoría del control para darse una idea general de qué es el control automático) fue la invención de la máquina de vapor. Es en el proceso de mejoría de esta máquina cuando algunos problemas en su operación comenzaron a ser reportados a principios del siglo XIX [2]. Fue entonces cuando la teoría de estabilidad alzó la mano para ser empleada en encontrar explicaciones a este tipo de fallas. En efecto, las fallas reportadas se debían al fenómeno de inestabilidad, el cual terminó de salir a la luz cuando James C. Maxwell en su artículo “On governors” [3] presentó un método para la descripción de mecanismos empleando ecuaciones diferenciales (sí, así como lo imaginó: modelado matemático de  mecanismos), e introdujo un método para determinar su estabilidad, de tal forma que el estudio del objeto físico (los mecanismos) ahora se trasladaba al estudio de un objeto de naturaleza abstracta (las ecuaciones diferenciales).

Es de admiración cómo una herramienta matemática tan abstracta como la expuesta en este artículo sirve de guía para la exploración del comportamiento de la realidad. Si quién ahora lee estas líneas comparte con el autor esta admiración, puede entonces preguntarse también, para concluir, ¿es concebible el estudio de cualquier fenómeno en la naturaleza a través de la matemática?

Fuentes de consulta

[1] Leipholz , Horst. Stability Theory. An Introduction to the Stability of Dynamic Systems and Rigid Bodies, 2nd ed. Springer, 1987

[2] Stuart, Bennet, ”A brief history of automatic control,” IEEE Control Systems Magazine, vol. 16, no. 3, pp. 17-25, 1996.

[3] Maxwell, James C. “On governors,” in Proceedings of the Royal Society of London, vol. 16, pp. 270-283, 1867.

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