De la realidad a las matemáticas: ¿qué es el modelado matemático?

Imaginemos a un artista que dibuja con su pincel el paisaje que tiene frente a sus ojos. A esa pintura que el artista realiza se le puede llamar, por definición (véase el Glosario), modelo de la realidad. Es un modelo porque, ya que su obra se basa solamente en aquello que sus sentidos perciben, ésta solo es una representación de la realidad.    Un modelo es entonces cualquier representación de la realidad. Sobre qué tan cercana puede ser esta representación a la realidad es algo que no cuestionaremos por el momento.

Cualquier ser humano tiene ciertos modelos. A diferencia del artista, de quien su modelo es conocido porque es de su gusto exponerlo, la representación de la realidad que las personas en su mayoría tienen es conocida por la forma en la que estas actúan en determinadas situaciones en su vida. Existe en ellas un conjunto de creencias que forman un mundo conceptual a través del cual aprecian la realidad.

Así como un conjunto de creencias puede formar un mundo conceptual, un conjunto de axiomas que guardan ciertas relaciones lógicas también. A partir de esto, de manera intuitiva, se puede pensar entonces que es posible formar un modelo que esté descrito por ese conjunto de axiomas (ver Fig. 1). El mundo conceptual que el hombre decida tomar para modelar la realidad que percibe se encuentra en función de qué fines tenga, o no, para su modelo. Para fines científicos,  el conjunto de axiomas que hacen de las matemáticas una ciencia ha resultado ser ese mundo que ha dado mejores resultados. En efecto, las matemáticas han sido de vital importancia para el desarrollo de otras ciencias, a saber, la física, la química, la biología e incluso actualmente empieza a emplearse en ciertas áreas de ciencias sociales, así como también de la ingeniería [1].

 

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Fig. 1. Percepción de la realidad a través de un mundo conceptual.

Pero, ¿cómo les sirve? El desarrollo  de conocimiento en cualquier área que pertenezca a las ciencias fácticas requiere  del estudio del mundo externo, de los fenómenos que ocurren ahí. Para esto, de acuerdo con el esquema general del método científico es necesaria la observación de la realidad y la experimentación. Las observaciones realizadas precisan de un análisis  y los experimentos necesitan ser propuestos con base en hipótesis. Ambas tareas, el análisis de las observaciones y la proposición de experimentos, son realizadas en el mundo conceptual.

Las matemáticas ofrecen las herramientas para la construcción de un puente tal que le permita al científico estudiar un fenómeno de la realidad desde el mundo conceptual. Bajo la lente de las matemáticas, el fenómeno físico bajo estudio puede ser descrito en términos matemáticos (por ejemplo ecuaciones), y esta descripción podrá ser empleada a su vez como un mapa que permita encontrar una explicación (cuantitativa o cualitativa) de los resultados observados, y la predicción de determinados comportamientos. A esta representación de la realidad en términos matemáticos se le conoce, como es de suponerse, como modelo matemático [1], [2].

Cabe mencionar que, aunque, un modelo matemático proporciona un acercamiento objetivo a la realidad, no deja de ser una representación de ésta, y por lo tanto, la brecha que separa al mundo conceptual  en el que el modelo habita  y la realidad, no desaparece.  El tamaño de esta brecha es determinado por la diferencia existente entre  los resultados predichos por el modelo y los obtenidos del fenómeno modelado, es decir, la diferencia entre lo que en el mundo conceptual se obtiene y la realidad.

De esta manera, un modelo matemático que capture con  suficiente fidelidad  la realidad sirve a las ciencias fácticas para el análisis de las observaciones realizadas del mundo externo, y mediante la predicción de comportamientos, para el diseño de experimentos.

Lo anterior es igualmente válido cuando nos preguntamos de qué le sirven los modelos matemáticos  a la ingeniería. Sin embargo, en el área ingenieril en cambio, la necesidad de entender la realidad está motivada por la creación y el diseño de nuevas tecnologías.

Es así que el modelado matemático ofrece una ventana en el mundo conceptual de la mente humana a través de la cual es posible estudiar la realidad. Proporciona a la ciencia e ingeniería, lo  que el pincel es para el artista, solo que en este caso lo que se plasma en papel no son líneas definiendo contornos, sino términos matemáticos que describen el comportamiento de un determinado fenómeno.

Fuentes de consulta 

[1]. Dym Clive. Principles of mathematical modeling. Academic press, 2004.

[2]. Giordano, Frank, William P. Fox, y Steven Horton. A first course in mathematical modeling. Nelson Education, 2013. 

Glosario

Modelo. Representación en pequeño de alguna cosa.

Axioma. Proposición tan clara y evidente que se admite sin demostración; Cada uno de los principios fundamentales e indemostrables sobre los que se construye una teoría.

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