El hombre a lo largo de su historia ha tratado de emular a la naturaleza, eso lo ha llevado a desarrollar teorías y artefactos que le permitan entender hasta cierto punto los fenómenos que observa a su alrededor. El ser humano aprovechando su capacidad de inventiva se dedicó a buscar la forma para realizar actividades para las cuales no está adaptado como: volar, respirar bajo el agua, guiarse en la oscuridad, etc., pero también se enfocó en idear métodos para facilitar la vida cotidiana. Como resultado de esto tenemos diversos inventos como: la rueda, los barcos, submarinos, las linternas, cámaras infrarrojas, los aviones, vehículos que viajan fuera de la tierra, el teléfono y actualmente se pretende emular al ser humano y a otros seres vivos mediante máquinas; esta última idea realmente es antigua sólo que no se disponía de la tecnología necesaria para llegar a resultados aceptables.

Herón de Alejandría escribió un tratado con alrededor de 100 autómatas diferentes, Leonardo Da Vinci realizó diversos inventos y propuso otros tantos relacionados con autómatas. El interés en los autómatas también se ve reflejado en la literatura, uno de los cuentos más representativos de E.T.A. Hoffmann (escritor del romanticismo) es “El hombre de arena” (Der Sandman, en alemán) [5], en él habla sobre un joven traumatizado por la temprana muerte de su padre, posteriormente se enamora de una autómata, y al descubrirlo pierde la razón. Otro autor que aborda temas relacionados es Isaac Asimov quien propone tres leyes para la robótica, se mencionan a continuación:

1. Un robot no hará daño a un ser humano o, por inacción, permitir que un ser humano sufra daño.
2. Un robot debe obedecer las órdenes dadas por los seres humanos, excepto si estas órdenes entrasen en conflicto con la 1ª Ley.
3. Un robot debe proteger su propia existencia en la medida en que esta protección no entre en conflicto con la 1ª o la 2ª Ley.

De este interés por los seres vivos surgen diversas ramas de estudio una de ellas es la biomecánica.  En esta ocasión hablaremos acerca del modelado mecánico de la columna vertebral del ser humano, se explicarán a grandes rasgos algunas de las consideraciones y el tipo de elementos mecánicos que se pueden considerar para obtener modelos de la columna dependiendo del caso de estudio.

La biomecánica es la ciencia que se ocupa del estudio de las fuerzas internas y externas que actúan sobre el cuerpo humano y los efectos producidos por dichas fuerzas. Esta disciplina brinda algunas de las bases para entender el funcionamiento de los organismos, caracterizar el comportamiento de tejidos y órganos vivos desde el punto de vista estructural, predecir cambios microestructurales y proponer métodos de intervención artificial.

En los últimos años esta área ha crecido gracias a los adelantos científicos y tecnológicos, no obstante, su inicio se remonta a varios siglos atrás. Existen textos antiguos que abordan el tema de la biomecánica, por ejemplo: De las partes de los animales, Del movimiento de los animales [1] y Nei Jing [3], los dos primeros fueron escritos por Aristóteles, en el primero presenta una descripción de la anatomía y el funcionamiento de los órganos internos aunque con un error considerable pues suponía que el corazón estaba encargado de la respiración (hoy se sabe que existe cierta sincronización entre el sistema respiratorio y el corazón), en el segundo describe algunas secciones animales y habla sobre el proceso de andar. El tercero de los libros es de origen chino, entre sus tópicos está el sistema  circulatorio en el hombre y establece que las venas son el lugar donde se retiene la sangre, la cual provee al corazón y al cuerpo de este fluido sin parar.

Siglos más tarde Leonardo Da Vinci hizo estudios sobre el movimiento; trató temas como el efecto de correr bajo el viento, el proceso de caminar y sobre el centro de gravedad en diferentes posiciones [4]. Otro investigador importante fue Miguel Servet quién planteó el principio de la circulación pulmonar. Thomas Young estudió la formación de la voz humana a través de las vibraciones, relacionando éstas con la elasticidad de los materiales [3][4]. Jean Poiseuille determinó la relación flujo-presión en el interior de un tubo. Estableció la condición de no deslizamiento como la condición más apropiada entre un fluido viscoso y una pared sólida. Actualmente existen diversas aplicaciones como el análisis de válvulas para el corazón, prótesis para reemplazar algunos órganos y un amplio campo de estudio de las posiciones durante accidentes en medios de transporte, entre otras aplicaciones.

La llegada de la electrónica y el desarrollo de las computadoras dió paso a nuevos métodos para representar diferentes componentes de los seres vivos, ya sea, de forma física o virtual, en ambos casos los modelos matemáticos resultan de gran importancia. Una de las disciplinas más importantes en este campo es la rama de la teoría de control; sin embargo, es evidente que este problema es multidisciplinario y son muchas las variables a considerar.

Los modelos permiten predecir un comportamiento aproximado y brindan la posibilidad de influir sobre ellos. Realizar un modelo físico puede resultar muy costoso y en ocasiones puede llevar mucho tiempo su fabricación, una alternativa a los modelos físicos son las simulaciones por computadora, éstas permiten reducir de forma drástica los experimentos con animales, además presentan un ahorro en recursos económicos y en tiempo, no obstante, en ocasiones es conveniente fabricar un prototipo para comprobar los resultados obtenidos en simulaciones por computadora.

Uno de los problemas más interesantes dentro de la biomecánica y el control es el referente al movimiento de los seres humanos, la forma en que se desplazan, como realizan diversas acciones (sentarnos, pararnos, nadar, mantener una postura, etc.), la forma en que se mantiene el equilibrio, los accidentes y sus repercusiones así como otros tantos estados en los que se puede encontrar el ser humano. El soporte mecánico principal relacionado con el movimiento de los seres humanos es la columna vertebral.

La columna vertebral humana es un sistema sumamente complejo formado por vertebras, discos intervertebrales, ligamentos y músculos, cada uno actuando de manera única para garantizar el movimiento [2].

Dependiendo del entorno y la situación donde se desempeñe el sistema (la columna vertebral) algunos de estos componentes tendrán un papel activo mientras otros presentarán un papel pasivo. Es la estructura primaria del esqueleto, desde una perspectiva mecánica juega el papel primario en cuanto al control de la posición (equilibrio), soporte del cuerpo y el movimiento. La columna se divide en 5 regiones, de las cuales solo tres permiten movimiento, estas son la región cervical, la región torácica y la región lumbar; los dos restantes son el sacro que se encarga de transmitir las cargas a la pelvis y la última es el coxis.

Al ser la columna la estructura primaria para llevar acabo el movimiento del cuerpo humano, resulta de gran interés obtener modelos que permitan aproximar el funcionamiento de ésta. Los modelos dependerán del objeto de estudio, por ejemplo si nos interesan cuestiones relacionadas con el equilibrio, donde el objetivo es mantener una posición podemos imaginar a uno de esos meseros que lleva la charola puesta sobre la cabeza, el objetivo es que la charola no caiga, para ello deberá mantener una posición y evitar que una postura propicie la caída; podemos entonces realizar una aproximación muy simple mediante el sistema de péndulo invertido Fig.1 en dos dimensiones el cual a diferencia del péndulo clásico tiene su centro de masa sobre el eje de giro y se puede hacer que esté montado sobre un carro con desplazamiento horizontal, el carro representara el avance del mesero y la barra la posición del cuerpo del mesero, dado que no queremos que la charola caiga entonces el objetivo es mantener la barra en posición vertical, para ello de alguna forma debemos generar una fuerza alrededor  del eje de giro para corregir la posición, la fuerza necesaria es dictada por un controlador que basa su indicación en datos obtenidos por sensores; en los seres humanos los sensores son nuestros sentidos, el actuador que genera la fuerza, en este caso, es la columna vertebral y el controlador es el cerebro, claro está que en este sistema sólo lleva a cabo una de las múltiples tareas que pueden realizar el controlador, los sensores y actuadores de los seres humanos. Si consideramos el movimiento del mesero en la realidad, podemos ver que el modelo se queda corto pues sólo está la posibilidad de corregir posición en un plano y la traslación es sobre el eje horizontal mientras en la realidad sabemos que le mesero en caso de que la charola esté en peligro de caer, realizará movimientos en el espacio hasta que recupere la posición de equilibrio. Aunado a ello, no podemos considerar a la columna vertebral como una barra rígida, pues sería una perspectiva idealizada, pues está formada vertebras que en su mayoría son capaces de rotar en diferentes direcciones, no obstante el modelo nos sirve para darnos una idea del comportamiento del sistema y una forma de tratarlo.

Fig.1 Péndulo invertido

Si lo que quisiéramos describir es el andar de un individuo, un modelo simplificado sería considerar a partir de la cadera, donde se une el fémur, como un eje de giro, posteriormente bajamos un poco más a través del fémur y llegamos a la rodilla, la cual podemos considerar como otro eje de giro y si seguimos  bajando ahora a través de la tibia y el peroné, llegaremos al tobillo donde nuevamente podemos considerar un eje de giro más (todos estos ejes de giro es lo que conocemos como articulaciones) y si seguimos tenemos el pie.

Ahora, pensemos en el sistema descrito, podemos ver que está unido por huesos y que estos son capaces de girar de manera independiente hacia diferentes ángulos, de esta manera llegamos a un sistema simplificado que es algo como un péndulo triple en el plano, al cual debemos agregar ciertas restricciones en cuanto a la rotación en los diversos ejes. En éste encontramos más variables que controlar pues ahora tenemos tres ejes de giro, en el ejemplo los actuadores serán los músculos de las piernas, pero estarán guiados por la columna vertebral, los sensores utilizados por el cuerpo del individuo dependerán de la situación. Si nos encontramos en un lugar iluminado pude bastar con la vista, pero si el lugar es oscuro debemos valernos de otros sentidos como el tacto o el oído, así que simular el andar de un individuo se vuelve más complicado entre más consideraciones tomemos.

Hasta aquí hemos puesto ejemplos relacionados con la posición del cuerpo; sin embargo, al realizar un movimiento, en la columna se presentan otros fenómenos que están relacionados con las fuerzas que actúan sobre el sistema. Vertebras (huesos), discos intervertebrales, ligamentos y músculos, cada uno de estos elementos tiene un comportamiento diferente y sus propiedades características son distintas; además, pueden cambiar con el tiempo y las exigencias, es decir, son adaptables. Todos ellos tienen en común que son materiales compuestos [1] por lo que son anisótropos, lo que quiere decir que sus propiedades varían de acuerdo a la dirección de referencia.

Fig. 2. Los materiales compuestos son materiales formados por una matriz que brinda cuerpo al material (el cuerpo humano está formada por material orgánico) y un refuerzo (en el cuerpo humano son las fibras de colágeno y elastina) del cual dependen en gran medida las características mecánicas del material, estos pueden ser orientados de acuerdo a las solicitaciones mecánicas como la dirección donde se presentan los esfuerzos de mayor magnitud.

En primera instancia se puede aproximar su comportamiento mediante la ley de Hooke, de este modo el comportamiento de las vértebras y los ligamentos queda modelado como un sistema masa resorte, pero al considerar los discos entre las vertebras, debemos incluir un amortiguamiento generado por estos elementos, entonces obtenemos un sistema masa resorte con amortiguamiento. Ésta puede ser una aproximación buena sólo para comprender algunos aspectos del problema pues todo está basado en un comportamiento lineal. La figura 3 muestra un modelo del cuerpo humano bastante simplificado en términos de amortiguadores y resortes.

Fig.3. Los elementos con forma de zigzag representan resortes y los elementos paralelos a los resortes representan amortiguamiento. Los rectángulos representan elementos de apoyo o soportes. Modificado de: http://www.chegg.com/homework-help/questions-and-answers/biomechanics-engineers-concerned-response-human-body-different-types-vibratory-excitations-q4079911

En la realidad la acción de los diversos componentes de la columna no es lineal y el comportamiento de los elementos es distinto, por ejemplo: consideremos las fibras de los músculos o un ligamento, cuando estos son sometidos a esfuerzos y la longitud de la fibras se mantiene constante, la fuerza decrece con el tiempo, en otras palabras, las moléculas del tejido son capaces de reordenarse para cumplir con su tarea, este fenómeno es conocido como relajación, por otra parte si aplicamos una fuerza constante la longitud de la fibra que forma al músculo se incrementará lentamente, a este fenómeno se le conoce como creep o fluencia viscosa, la deformación producida no es producto de una elongación de los granos del material, es debida al desplazamiento relativo entre los granos, un ejemplo de esto es el vidrio de una ventana que tenga muchos años de existencia, después de un largo periodo se verá que la parte inferior es más ancha que cuando la ventana era nueva, en este caso podemos pensar que la atracción gravitacional actúa como una carga constante, claro que para poder presenciar este fenómeno en el vidrio deben pasar varias decenas de años. Los componentes de la columna vertebral presentan este comportamiento, a este tipo de materiales se les llama visco-elásticos y se pueden aproximar mediante los modelos de Maxwell, Kelvin o Burgers, que se expresan en términos de resortes y amortiguadores.

Algunos modelos para analizar el comportamiento de la columna en diferentes situaciones de carga, se basan en el método del elemento finito. Existen paquetes de cómputo que permiten realizar este tipo de análisis, ANSYS y Nastran son algunos, en estos paquetes una vez que se tiene el modelo virtual, es posible asignarle propiedades de manera independiente a cada parte del modelo, se cuenta con diversos elementos finitos (rectángulos, triángulos, poliedros, etc.) que permiten representar diferentes comportamientos, de esta manera se pueden seleccionar los más apropiados para cada parte.

Después, el modelo es dividido en pequeños elementos a los cuales se les asigna ecuaciones que describen la física del elemento, estas ecuaciones se relacionan con las de los elementos vecinos, de esta forma las ecuaciones individuales pueden unirse para obtener la solución global. Esta es la descripción a grandes rasgos del método, a medida que los modelos sean más complejos las simplificaciones se deben realizar con otro tipo de elemento finito.

Fig.4. Ejemplos de elementos finitos.

Finalmente, podemos concluir que el modelado de la columna varía dependiendo del objetivo del estudio, así podemos obtener un modelo mediante el péndulo invertido si queremos realizar un análisis de la posición o tratar de diseñar un sistema de control análogo al de la columna; si deseamos considerar cargas en la columna introducimos resortes y amortiguadores a nuestro modelo. A medida que aumentamos el nivel de aproximación, debemos tomar en cuenta otros factores los cuales pueden hacer más compleja la obtención del modelo. El método del elemento finito nos permite hacer un análisis del comportamiento mecánico de la columna ante la acción de cargas, en este tipo de análisis es necesario considerar las características de los materiales. Para el caso de la columna sus componentes son materiales compuestos que tienen un comportamiento visco-elástico. A pesar de que los modelos lineales y simplificados no están muy cercanos a la naturaleza, nos permiten comprender parte del comportamiento del sistema de la columna vertebral y con ello dar un paso más allá en el desarrollo de modelos más precisos que permitan obtener resultados más próximos a la realidad.

Fuentes de consulta

[1] Aristóteles Obras bilógicas Luarna, Madrid 2010. (Traducción de:Rosana Bartolomé).

[2] Tong, S. A Mechanical Model of the Normal Human Spine, Thesis University of Alberta Edmonton Alberta 1999

[3] Fung, Y.C., Biomechanics: Mechanical Properties of Living Tissues,Second Edition, Springer-Verlag New York 1993.

[4] Naderi, S., Andalkar, N. y Benzel, E.C., History of spine biomechanics: Part II—
from the renaissance to the 20th century  Neurosurgery 60:392–404, 2007.

[5] Hoffmann, E.T.A., El hombre de la arena, Segunda edición, Valdemar 2014

[6] Asimov, I., Yo, Robot, EDHASA 2004.